美丽的数学 之 奇妙的分形

lee1892

七、一些知识准备

可能会有人去看了顶楼的那个一片漂亮的叶子的帖子，并疑惑于这样的有规律的随机数据是如何产生的，其背后又有着什么样的数学规律。

想要了解个大概的话，可以看看下面的一些内容，或则只是关心好看的效果的话，这一段完全可以跳过~

1、先复习一下复数、复平面

为解决 x^2 = -1，实数显然无解，人们引入了虚数的概念，x = ± 1 * i，这里的 i 表示虚数，于是有了复数的概念 z = x + y*i，其中 x 为实部、y 为虚部。

所有复数的集合就可以构成复平面，与笛卡儿坐标系类似的，y轴表示虚部，x轴表示实部，任何一个复数都可以在复平面上找到一个对应的点。

2、度量空间 Metric Space

度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合内的元素之间的 “距离”（称为 度量）的概念。最为直观的是三维欧几里得空间，欧几里得度量 定义了两个点之间的距离为其连线的长度。

可以把一个度量空间表达为一个二元组 (M, d)，这里 M 是集合，而 d 是在 M 上的 度量，即一个函数
d : M × M → R

3、压缩映射 Contraction Mapping

度量空间 (M,d) 上的压缩映射，是一个从 M 到它本身的函数 f，存在某个实数 0<k<1，使得对于所有 M 内的 x 和 y，都有：
d(f(x),f(y)) ≤ kd(x,y)

满足以上条件的最小的 k 称为 f 的利普希茨常数（Lipschitz Constant）。

一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem）说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于 M 内的任何 x，迭代函数序列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ... 收敛于不动点。

4、仿射变换与变换矩阵 Affine Transformation & Transformation Matrix

在几何中，一个向量空间进行一次线形变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。

在线形代数中，线形变换嫩够用矩阵表示。如果 T 是一个把 R1 映射到 R2 的线形变换，且 x 是一个具有 n 个元素的列向量，那么
T(x) = Ax
m×n 的矩阵 A，称为 T 的变换矩阵。

更多变换矩阵的知识，可参考 中文WiKi：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5

5、复合函数 Composition Function

在数学领域，两个函数的复合函数指将第一个函数作用于参数，然后再将第二个函数作用于所得结果的函数。具体来说，给定两个函数 f: X → Y 和 g: Y → Z，其中 f 的陪域等于 g 的定义域（称为 f、g 可复合），则其复合函数记为 g ○ f，以 X 为定义域，Z 为陪域，并将任意 x∈X 映射为 g(f(x))。

函数的复合满足结合律：若 f、g可复合，g、h 可复合，则有：
h ○ (g ○ f) = (h ○ g) ○ f

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顶楼的那个叶子的图案被称为 Barnsley's Fern，使用了 4 个仿射变换，一个变换的矩阵公式为：

如果你对矩阵计算熟悉的话就会知道上面的这个公式对应了两个等式：
x = a * x' + b * y' + e
y = c * x' + d * y' + f
上式中，x'、y’ 为上一次迭代计算的结果。

Barnsley's Fern 的参数表如下：

w	a	b	c	d	e	f	p
f1	0	0	0	0.16	0	0	0.01
f2	0.85	0.04	-0.04	0.85	0	1.6	0.85
f3	0.2	-0.26	0.23	0.22	0	1.6	0.07
f4	-0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07

其中，p 表示的是可能性，即每次迭代计算中，采用 4 种变换中的某一种的可能性。

对应的矩阵变换如下：









如果愿意的话，可以计算一下上面四个变换的不动点，具体办法可参考 巴拿赫不动点定理。

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以上内容均来自中文或英文 WiKi。

kangatang

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kangatang

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lee1892

八、德拉姆曲线 De Rham Curves 0到1的舞蹈

18楼有更新噢~

本贴附件： 奇妙的分形 之 DeRham曲线_By Lee1892.rar (174.98 KB, 下载次数: 365)

2013-12-14 13:57 上传

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考察一个度量空间 (M,d)，和它的一个 M 上的压缩映射：
d0: M → M
d1: M → M

由巴纳赫不动点定理，它们存在两个不动点，记为 p0 和 p1。设实数 x ∈ [0,1]，并且其二进制扩展表达为：
x = SUM (bk / 2^k) <k=1~∞, bk = 1 或 0>

这时，有：
cx: M → M
其度量函数为：
cx = db1 ○ db2 ○ ... ○ dbk ○ ...

可以发现每一个 cx 都将 d0 和 d1 的普遍吸引域映射到 M 上的一个点，记为 px。由一个实参 x 获得的所有 px 的集合，被称为 德拉姆曲线。

德拉姆曲线连续的条件：
d0(p1)=d1(p0)

嗯，这一段确实太抽象了点儿。接下来的几个实例可以帮助我们稍微形象点儿的理解它。

1、Césaro 曲线
其两个不动点为 p0 = 0 和 p1 = 1，不同的 Césaro 曲线是由一个复数 a（a = α + β i）来定义的，|a| < 1  且 |1-a| < 1 （复数的绝对值是其在复平面上代表的点距离原点的距离，即 |z| = sqr(x^2 + y^2) ）。

其压缩映射的两个度量函数被定义为复平面上的两个复函数：
d0(z) = az'
d1(z) = a + (1 - a)z'
其仿射变换为：


a = 0.3 + 0.3 i

a = 0.5 + 0.5 i 就是 莱维C曲线


2、Koch-Peano 曲线
类似的，将上述函数中的变量换为其共轭复数（复数的共轭：z = x + y i 与 z = x - y i 共轭，没有上划线用下划线表示共轭），就变成了 Koch-Peano 曲线了。
d0(z) = az'
d1(z) = a + (1 - a)z'
其仿射变换为：



a = 0.5 + √3 / 6 i 为 Koch 雪花曲线

a = 0.5 + 0.5 i 为 Peano 曲线 （不好看，不贴了）
a = 0.6 + 0.37 i

a = 0.6 + 0.45 i


3、德拉姆 曲线 的一般化
按上述的仿射变换公式，显然一般化的形式如下：

式中包括了全部的向量的线性变化：旋转、偏移、放大缩小等。

由前述的设定，对于 d0 取不动点 p0 = 0 则有 a = d = 0，对于 d1 取不动点 p1 = 1 则有 j = 1 - h 及 m = -l。而由 德拉姆曲线连续的条件 d0(p1)=d1(p0)，可得 h = b 及 m = e。将这些变量换以希腊字母，就可以获得 德拉姆曲线的公式：




补充内容 (2014-10-25 00:48):
连续的德拉姆曲线见：http://club.excelhome.net/forum. ... 988&pid=7906838

sunny_8848

见识了，楼主好水平

cleverzhzhf

网上有本流行书《数学之美》，通读之后，可能与我的行业并无相关，至少我感觉不到美。
但是楼主的这一篇大作，让我由衷的敬仰。
这要是作为大学数学系的入门基础一课，将会是多么好的诱导与兴趣提升。至少实实在在见到了，那些高深公式的实实在在的用处

doryan

满满的都是艺术...后悔没学好数学

tygl1234

只能说：高山仰止！

hyqzzs

五体投地！...后悔没学好数学,看不懂...

willimwang

膜拜！一直以为数学学的不赖，然而从未将数学与艺术勾连起来，今日是开了眼界了，谢谢楼主。