LAMBDA函数递归：小猫上台阶问题

shaowu459

问题描述：
一只小猫想从1楼地面去2楼去吃小鱼干，台阶一共10级。小猫每次能走一个台阶或两个台阶，那么它上楼一共有多少种方案？每次都是怎么上去的？

shaowu459

先来分析一下小猫上台阶的过程。

当小猫第一次走时，有两种选择，上1个台阶或2个台阶：


小猫第一次走完之后，会有两种可能，站在第1个台阶或在第2个台阶上。如果站在第1个台阶上，往上又有两种选择，走1个台阶到第2个台阶，或者走2个台阶到第3个台阶。如果站在第2个台阶上，也有两种选择，走1个台阶到第3个台阶，或者走2个台阶到第4个台阶。用公式来表示的话，就是在第一次走时的两种方案上各自HSTACK上1和2这两种方案：


小猫第三次走的时候，无论站在哪个台阶上，又各有两种选择，也就是在第二次走完之后的每种方案上再分别增加1和2这两种方案：


后面可以按照上面的逻辑递推，直到最后剩余1个或2个台阶时。当小猫走到第8个楼梯时，它只面临剩余两种方案，一次性上2个台阶或者每次分别上1个台阶。当小猫走到第9个楼梯时，它之面临一种方案，再往上上一个台阶。

通过上面的分析我们可以看出，小猫每次走都只有两种选择，每次走的模式是一样的，因此可以考虑用递归来解决。递归的退出条件就是当剩余1个台阶时，之前的每个方案再并上一个1，方案数量不变；当剩余2个台阶时，之前的每个方案再分别并上{1,1}或者2这两种方案。

shaowu459

根据上面的分析，我们来定义一个名称fx：

1. =LAMBDA(n,IF(n=1,1,IF(n=2,{1,1;2,""},IFNA(VSTACK(IFNA(HSTACK(1,fx(n-1)),1),IFNA(HSTACK(2,fx(n-2)),2)),""))))

复制代码

在任意空单元格输入fx并赋予它一个初始变量（台阶总数）即可得到所有方案：

shaowu459

下面拆解公式来说明一下递归运算逻辑：
=LAMBDA(n,       给定台阶总数

               IF(n=1,1,   如果剩余台阶数是1，剩余方案只有上1个台阶
                            IF(n=2,{1,1;2,""},     如果剩余台阶数是2，则有1+1和2两种方案
                                                     IFNA(    纵向堆积时由于维度不同产生的错误值屏蔽为空
                                                             VSTACK(   纵向堆积两种方案
                                                                         IFNA(HSTACK(1,fx(n-1)),1), 选择上1个台阶时和之前的方案并在一起
                                                                         IFNA(HSTACK(2,fx(n-2)),2)  选择上2个台阶时和之前的方案并在一起
                                                                        ),

                                                             "")
                              )
                  )
               )
递归的思考过程可以从下往上思考，看怎么理解方便，思路不同，递归的初始值和细节可能会有微调。

shaowu459

简单总结来说，用Lambda函数递归时，每步产生的结果可以用Vstack函数或Hstack函数堆积起来以返回最终结果。如果还需要循环，则考虑加上Reduce函数。设计堆积方式的时候可以用一两个循环来推演一下堆积方向和规律。

alan57

太强大了,要再消化消化下.

dim麻辣君

学习了，感谢超人老师

数论

写的真好，1,2,3,5,8..楼梯走法是斐波那契数列的生动体现。
具体走法用365写起来也是比较简洁高效。
感谢shaowu版主的知识分享。

小周bim

强大，学习了

多几个多

牛比！
这好像是哪个，那个什么什么数列来着，82拉菲数列？