LAMBDA函数递归：m选n所有组合问题

shaowu459

9楼有更新算法的文件，可以下载参考。

题目要求说明：假设m、n均为自然数，且n≤m，现在要求列出从m个数字中选出n个数字的全部组合。

组合数量在Excel中可以使用COMBIN函数计算出来，例如5个数中选3个数的组合数=COMBIN(5,3)=10。在LAMBDA函数出现之前，Excel工作表函数应该无法完成此项工作，本例主要介绍如何使用LAMBDA函数的递归功能实现列出m选n所有组合的问题。

shaowu459

以5选3来说明一下递归的大概思路，m=5，n=3：
1）假设定义的递归函数为fx，则5选3表示为=fx(5,3)。
2）首先，从1、2、3、4、5之中选出第一个数字1，剩余的问题转化成从剩余的2、3、4、5这4个数字中提取出2个数字，也就是fx(m-1,n-1)=fx(4,2)。
3）从2、3、4、5这4个数字中提取出2个数字时，先提取出第一个数字2，剩余的问题转化成从剩余的大于2的3、4、5（如果不设定这个条件，生成的组合会有重复）这3个数字中提取出1个数字，也就是fx(4-1,2-1)=fx(3,1)。
4）当n=1的时候就可以停止递归了，这时的数组中有几个数字，就可以直接和前面的数字直接组合了。另外，当剩余的问题变成fx(m,n)并且m=n的时候，例如从剩余5个数字中提取5个数字，这时只有一种选择，也就可以停止递归运算了。
5）第3步中循环完第一个数字2后，要循环第2个数字3，这时要从剩余的大于3的数字4、5中选出一个数字，问题变成fx(2,1)，因为n=1，所以也可以终止递归运算。
6）第3步中循环完第二个数字3后，要循环第3个数字4，但是大于4的数字只有1个5，无法实现从1个数字中提取2个数字，因此，此次循环保留原来的值不变，相当于跳过此次循环的运算。同样道理，循环到数字5时也跳过循环运算。
7）此时，第3步的循环完成，将返回循环第2步中的第2个数字2，要从大于2的3、4、5这3个数字中选择2个数字，也就是fx(3,2)，以此类推。如果大于当前循环数字的数字个数小于需要提取出的数字个数，就跳过此次循环运算。

shaowu459

根据2楼的分析逻辑，我们可以定义一个名称fx，公式如下：

1. =LAMBDA(x,y,IFS(y=1,x,ROWS(x)=y,TOROW(x),1,DROP(REDUCE(0,x,LAMBDA(m,n,IF(ROWS(x)-MATCH(n,x,)<y-1,m,VSTACK(m,IFNA(HSTACK(n,fx(DROP(x,MATCH(n,x,)),y-1)),n))))),1)))

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定义完名称后，在任意空单元格输入以下公式即可获得需要的组合情况（SEQUENCE生成1至m的自然数序列）：

1. =fx(SEQUENCE(15),8)

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由于递归的运算速度问题，建议不要用太大的数字测试。我自己在工作表中测试20选8的所有组合，共125970个，回车后20秒工作表才返回全部结果。

jivy1212

作为真菜鸟级别入门的，新版这函数完全可以划入VBA版块。

shaowu459

下面简单介绍一下公式的思路：

=LAMBDA(x,     生成1-m的自然数序列
               y,      需要挑选出的数量n
               IFS(y=1,x,      如果n=1，则直接返回当前的数组终止递归循环
                     ROWS(x)=y,TOROW(x),     如果剩余从m中提取n个数的m=n，则只有一种结果，因此转换成行，退出循环
                     1,DROP(REDUCE(0,
                                              x,
                                              LAMBDA(m,
                                                           n,
                                                           IF(ROWS(x)-MATCH(n,x,)<y-1,   判断下一步拟提取的基数m是否小于下一步要提取的数字n
                                                          m,    如果是，则保持m不变，跳过此次循环运算
                                                           VSTACK(m,
                                                                       IFNA(
                                                                               HSTACK(n,   将当前的数字和fx(新数组,n-1)生成的结果进行堆积
                                                                                            fx(DROP(x,MATCH(n,x,)),y-1)),n))))),1)))    将当前数组中循环数字前面的行都去掉，作为重复调用fx的第一参数，将y-1（也即n-1）作为重复调用fx的第二参数，生成fx(m-1,n-1)的结果

shaowu459

jivy1212 发表于 2022-12-2 12:33
作为真菜鸟级别入门的，新版这函数完全可以划入VBA版块。

基础循环和递归层面，确实有点像vba。

alan57

大强大了，看半天都是拟懂非懂的。

shaowu459

alan57 发表于 2022-12-2 14:37
大强大了，看半天都是拟懂非懂的。

拿5选3，手动模拟一遍，就清晰了。

shaowu459

更新递归的算法，这个效率高的多：

1. =LAMBDA(m,n,IF(n=1,m,IF(ROWS(m)=n,TOROW(m),VSTACK(IFNA(HSTACK(@m,gx(DROP(m,1),n-1)),@m),gx(DROP(m,1),n)))))

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shaowu459

9个及以下元素全排列（9个有36万多个结果，回车后稍等能正常返回，10个362万多个结果无法全部返回）：
定义名称fx：

1. =LAMBDA(z,IF(COUNT(z)=1,z,DROP(REDUCE(0,z,LAMBDA(x,y,VSTACK(x,IFNA(HSTACK(y,fx(FILTER(z,SEQUENCE(,COUNT(z))-MATCH(y,z,)))),y)))),1)))

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