关于“角谷猜想”的证明

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重庆市奉节县地方税务局      贺小康
“角谷猜想”，又称“叙古拉猜想”或“3+1猜想”，见于多种报刊书籍，其核心内容如下：
    对于任意自然数n,当n为奇数时则加上1,当n为偶数时则除以2，反复进行上述两种运算，最后总能得到1。如（以—表示乘以3加上1或除以2的运算过程）：
1—4—2—1；
2—1；
3—10—5—16—8—4—2—1；
4—2—1；
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   100—50—25—76—38—19—58—29—88—44—22—11—34—17—52—26—13—40—20—10—5—16—8—4—2—1；
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下面给出关于“角谷猜想”的证明，为叙述方便，以下简称“猜想”。
一、        化简：
根据算数基本定理，当m、n均为自然数时，任意偶数
必能表示为（2n-1）•2m。
(一)        当n=1时，我们按“猜想”规定的运算规则,对
（2n-1）• 2m进行反复除以2(m次)的运算（至不能再整除时为止），最后必能得到1（证明略）。同时，即证明了形如2m的偶数对于猜想是成立的。
    推论一：当对某一奇数进行乘以3加上1的运算后，如其结果等于形如2m的偶数，则可以说这个（或一类）奇数对于“猜想”是成立的。                            （1）
（二）当n≥2时，我们按“猜想”规定的运算规则,对（2n-1）•2m进行反复除以2的运算（至不能再整除时），最后必得到一个大于或等于3的奇数。
证：（2n-1）•2m÷2=（2n-1）•2m-1
（2n-1）•2m-1÷2=（2n-1）•2m-2
（2n-1）•2m-2÷2=（2n-1）•2m-3
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=（2n-1）•2m-(m-1)=（2n-1）。
n≥2，∴2n-1≥3。
证毕。
显然，我们对所有大于或等于3的奇数，仍然需按照“猜想”所规定的运算法则去进行证明(即进行“乘以3加上1”的运算)。这与“猜想”本身对奇数所要求的运算规则完全一致，因此，整个“猜想”即可简化为只需对所有奇数进行证明。
二、        对所有的奇数进行证明
（一）根据推论一，我们对下列奇数进行运算并分析：
1•3+1=4=22；
5•3+1=16=24；
21•3+1=64=26；
85•3+1=256=28；
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从上列数字的运算我们可以看出：形如1、5、21、85、……等一类奇数，只需进行一次“乘以3加上1”的运算，其结果就等于了形如22m的偶数，显然，我们很容易证明这一类奇数对于“猜想”是成立的（证明略）。下面我们证明这一类奇数有无穷多个：
证：设该类奇数为A，
按上述算式表现的规律应有：A•3+1=2²m（m为自然数）。如该式成立，则对于任意自然数m，必有与之相对应的A存在。因此，如证得（2²m-1）/3= A成立，则A•3+1=2²m必然成立。
当 m=1时，（2²m-1）/3= 1
令m=k, (22k-1)/3=A成立（即对任意的k，都有与之相对应的A存在）
当k=(k+1)时有：
[22(k+1)-1]/3=[22k+2-1]/3=[22k• 4-1]/3
=[22k• (3+1)-1]/3=[22k• 3+22k -1]/3
(22k• 3)、(22k –1)两部分均能被3整除，因此对任意的k，都有与之相对应的A存在。也即：存在无穷多个形如（2²m-1）/3的奇数，对于“猜想”成立，或者说，这一类奇数是已经被证明了的奇数（按“猜想”的运算规则，对形如（2²m-1）/3的奇数十分易于反证）。
（二）上面我们证明了形如（2²m-1）/3的奇数对于“猜想”是成立的，但显然这一类奇数不能代表所有的奇数。但我们可以这样进行分析和推导：对另一类尚还没有被证明的奇数，在经过乘以3加上1再反复除以2后（至不能整除为止），其结果如等于上述“已经被证明了的奇数”，则我们完全可以证明这一类奇数对于“猜想”也是成立的。通过验证，显然有：
（3•3+1）/21=5；
（13•3+1）/23=5；
（53•3+1）/25=5；
（213•3+1）/27=5；
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.，
根据上述验证的情况，我们进行分析并推断：若存在无穷多个如3、13、53、213、……一类的奇数, 令该类的奇数为B,m为任意自然数，则有（B•3+1）/22m-1=5.
按上述方法，可证得存在无穷多个B，对于“猜想”成立(证明略)。
又如：
（113•3+1）/22=85，
（453•3+1）/24=85，
（1813•3+1）/26=85，
（7253•3+1）/26=85，
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同样可证,存在无穷多个如113、453、1813、7253、……一类的奇数对于“猜想”也是成立的。
（三）推导
从上述分析和证明我们看出：3、13、53、213、……一类的奇数和113、453、1813、7253、……一类的奇数，能够通过5、85这两个“已经被证明了的奇数”来被证明它们对于“猜想”是成立的。但反过来我们也可以说，“已经被证明了的奇数”如 5、85这两个奇数，能证明3、13、53、213、……一类的奇数和113、453、1813、7253、……一类的奇数对于“猜想”成立。也即是说：我们能够利用“已经被证明了的奇数”，来证明另一类新的奇数对于“猜想”也是成立的。而事实上，在利用5、85来证明的新一类奇数中，有下列奇数又能证明新的一类奇数对于“猜想”成立（他们均是十分容易反证的）：
（17•3+1）/22=13，
（69•3+1）/24=13，
（277•3+1）/26=13，
（1109•3+1）/28=13，
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.；
（35•3+1）/21=53，
（141•3+1）/23=53，
（565•3+1）/25=53，
（2261•3+1）/27=53，
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.；
（75•3+1）/21=113，
（301•3+1）/23=113，
（1205•3+1）/25=113，
（4821•3+1）/27=113，
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.；
（2417•3+1）/22=1813，
（9669•3+1）/24=1813，
（38677•3+1）/26=1813，
（154709•3+1）/28=1813，
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.；
（4835•3+1）/21=7253，
（1109•3+1）/23=7253，
（1109•3+1）/25=7253，
（1109•3+1）/27=7253，
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显然，从上面的证明看，我们已经找到了证明奇数的特殊方法，但没有找到一般方法。而且在利用“已经被证明了的奇数”来证明另一类新的奇数对于“猜想”是成立的时，我们发现：只有不能被3整除的奇数才能证明新的奇数。那么，我们可以推断；假如我们能利用所有不能被3整除的奇数去证明所有的奇数，我们就能证明所有奇数对于“猜想”都成立。
（四）证明所有不能被3整除的奇数能证明所有的奇数
所有不能被3整除的奇数的通项公式为：
[6n-3+(-1)n]/2                        (2)
根据前面的分析和证明的思路我们可以确定，对所有不能被3整除的奇数在按照“猜想”规定的运算规则进行运算后，如能得到所有的奇数，我们则可以确定所有奇数对于“猜想”是成立的。
证明：对所有不能被3整除的奇数[6n-3+(-1)n]/2进行整理得：
当n为奇数时，[6n-3+(-1)n]/2可表示为6n+1；
当n为偶数时，[6n-3+(-1)n]/2可表示为6n-1；
（后期证明略）。