在Excel中解一元三次方程（盛金公式解法）

sunya_0529

一个网友问起在Excel中解一元三次方程的方法，很是费了一番脑筋，数学这个东西很高深莫测，于是乎在网上查阅各种资料，找到了盛金公式，比较好用Excel来转化其算法，特在此与大家分享，有兴趣的朋友略加改造，可以做成自定义函数。

附，盛金公式算法——

一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：

A=b2－3ac；

B=bc－9ad；

C=c2－3bd，

总判别式：

Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：

X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC＞0时，盛金公式②：

X1=(－b－3√Y1－3√Y2)/(3a)；

X2，3=(－2b＋3√Y1＋3√Y2±√3(3√Y1－3√Y2)i)/(6a)；

其中Y1，2=Ab＋3a(－B±√(B2－4AC))/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：

X1=－b/a＋K；

X2=X3=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC＜0时，盛金公式④：

X1=(－b－2√Acos(θ/3))/(3a)；

X2，3=(－b＋√A(cos(θ/3)±√3sin(θ/3)))/(3a)；

其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2√A3)，(A＞0，－1＜T＜1)。

盛金判别法

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

②：当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014）（主编：陈剑辉 副主编：黄国泰 责任编辑：汪一湘），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE（Hainan Province, China.Vol.2,No. 2;Dec,1989）A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation,Fan Shengjin . PP91—98.）

zhjp1006

geoLu

正在找这类的方法，试了一下，结果还不错。顶一下

[ 本帖最后由 geoLu 于 2010-5-24 16:33 编辑 ]

northwolves

不错，谢谢分享

zhengrd

这些值得研究

天信99

还是不明白

sunya_0529

感谢朋友们的关注，欢迎提出批评指正意见！

有朋友问起如何求解多个一元三次方程，其实略加改造，做成自定义函数，就方便使用了。

aX3＋bX2＋cX＋d=0，(a,b,c,d∈R,且a≠0)

如：2X3＋3X2＋4X＋5=0

=ShengJin(2,3,4,5,0)  '返回值：一个实根+一对共轭虚根
=ShengJin(2,3,4,5,1)  '返回值：-1.371134331
=ShengJin(2,3,4,5,2)  '返回值：-6.44328343463185E-02+1.34876101196125i
=ShengJin(2,3,4,5,3)  '返回值：-6.44328343463185E-02-1.34876101196125i
=ShengJin(2,3,4,5,5)  '返回值：#VALUE!


'========以下为代码部分==========

1. Option Explicit
   
2. 
   
3. Function ShengJin(a, b, c, d, v)
   
4. On Error Resume Next
   
5. Dim e, f, g, h, x1, x2, x3, s$
   
6. e = b ^ 2 - 3 * a * c 'A
   
7. f = b * c - 9 * a * d 'B
   
8. g = c ^ 2 - 3 * b * d 'C
   
9. h = f ^ 2 - 4 * e * g 'Δ
   
10. 
    
11. If Round(e, 8) = 0 And Round(f, 8) = 0 Then '盛金公式①
    
12. x1 = -b / (3 * a)
    
13. x2 = -c / b
    
14. x3 = -3 * d / c
    
15. s = "三重实根"
    
16. Else
    
17. Select Case Round(h, 10)
    
18.   Case Is > 0 '盛金公式②
    
19.    Dim x, y
    
20.    x = e * b + 3 * a * (-f + Abs(h) ^ 0.5 * Sgn(h)) / 2
    
21.    y = e * b + 3 * a * (-f - Abs(h) ^ 0.5 * Sgn(h)) / 2
    
22.    x1 = (-b - Abs(x) ^ (1 / 3) * Sgn(x) - Abs(y) ^ (1 / 3) * Sgn(y)) / (3 * a)
    
23.    x2 = (-2 * b + Abs(x) ^ (1 / 3) * Sgn(x) + Abs(y) ^ (1 / 3) * Sgn(y)) / (6 * a) & "+" & 3 ^ 0.5 * (Abs(x) ^ (1 / 3) * Sgn(x) - Abs(y) ^ (1 / 3) * Sgn(y)) / (6 * a) & "i"
    
24.    x3 = (-2 * b + Abs(x) ^ (1 / 3) * Sgn(x) + Abs(y) ^ (1 / 3) * Sgn(y)) / (6 * a) & "-" & 3 ^ 0.5 * (Abs(x) ^ (1 / 3) * Sgn(x) - Abs(y) ^ (1 / 3) * Sgn(y)) / (6 * a) & "i"
    
25.    s = "一个实根+一对共轭虚根"
    
26.   Case Is = 0 '盛金公式③
    
27.    x1 = -b / a + f / e
    
28.    x2 = -f / e / 2
    
29.    x3 = -f / e / 2
    
30.    s = "三个实根中含一个两重根"
    
31.   Case Else '盛金公式④
    
32.    Dim tmp3 As Double
    
33.    tmp3 = Application.Acos((2 * e * b - 3 * a * f) / (2 * (Abs(e) ^ (3 / 2) * Sgn(e)))) / 3
    
34.    x1 = (-b - 2 * Abs(e) ^ 0.5 * Sgn(e) * Cos(tmp3)) / (3 * a)
    
35.    x2 = (-b + Abs(e) ^ 0.5 * Sgn(e) * (Cos(tmp3) + 3 ^ 0.5 * Sin(tmp3))) / (3 * a)
    
36.    x3 = (-b + Abs(e) ^ 0.5 * Sgn(e) * (Cos(tmp3) - 3 ^ 0.5 * Sin(tmp3))) / (3 * a)
    
37.    s = "三个不相等的实根"
    
38. End Select
    
39. End If
    
40. 
    
41. Select Case v '定义函数输出值
    
42. Case 0
    
43.   ShengJin = s 'v=0,方程解的描述
    
44. Case 1
    
45.   ShengJin = x1 'v=1,第一个解
    
46. Case 2
    
47.   ShengJin = x2 'v=2,第二个解
    
48. Case 3
    
49.   ShengJin = x3 'v=3,第三个解
    
50. Case Else
    
51.   ShengJin = "#VALUE!" '无法识别的，显示错误值
    
52. End Select
    
53. End Function
    

复制代码

[ 本帖最后由 sunya_0529 于 2009-5-19 11:07 编辑 ]

fondeban

谢谢！学习了！

dahongpao

呵呵 不错

liechun1983

不错,谢谢分享!