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发表于 2020-10-9 11:07
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外积
又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。
外积的几何意义：
两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，
该向量垂直于a和b向量构成的平面。
维
有人说第四维是时间，第五维是灵魂......
不过在矩阵计算中，是不用关心维表示什么的。
第几维表示什么，是程序设计者或者使用者根据具体业务提取的，
比如长、宽、高、颜色。
计算机从来不关心具体意义，只负责计算。
矩阵
矩阵的直观是“映射”，不仅仅是数字排列成的表。
每一行是一个向量，也是一个方程组的系数。
有 m x n 矩阵 A。
m x n 矩阵 A 表示 从 n 维空间到 m 维空间的映射。
矩阵的一个非常重要的应用就是高斯消元法求解线性方程组的精确描述.
矩阵乘法
A*x = B
从代数角度理解：
上述表达式就像一个函数，A是f(x)=y中的f，B是f(x)=y中的y。
但是在矩阵中A 和 B的行数必须一致，x必须和A的列数一致。
从函数角度理解，其实矩阵是把一个大的函数拆分成了小的分别计算。
就好比我们可以求出具体方程的解，但是我们现在不用求方程组解的方法求解。
而是直接用A矩阵的形式来整体研究。
矩阵乘法直观：
向量左乘矩阵是把向量各分向量变换到新的位置(对每一维的坐标进行映射),
然后通过向量加法(采用代数加法实现)得到结果。
对于AX=b，相当于A的各列通过某种线性组合得到b.
也就是说，b向量在A矩阵的列空间中。
矩阵本身代表方程组的系数。
方程组中的自变量表示被乘向量或者矩阵。
三种效应：
旋转：
形状不发生变化
缩放：
又称为拉伸，形状可以变化也可以不变化。
投影：
从高维度到低维度
单位矩阵 逆矩阵
单位矩阵定义：
它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。
单位矩阵直观：
如同数的乘法中的1。
任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。
单位矩阵的特征值皆为1，
任何向量都是单位矩阵的特征向量。
为什么对角线上都是1呢：
以2*2矩阵举例，放到几何直观中就是 (1,0) (0,1) 组成的基底。
逆矩阵定义：
可逆矩阵一定是方阵。
AB = BA = E，E为单位阵，则称A、B为可逆阵，B为A的逆矩阵，记为B=A{-1}。
逆矩阵是唯一的。
逆矩阵性质：
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
不可逆直观：
导致空间降维的矩阵不可逆。
从几何映射角度看，行列式、秩、奇异矩阵
映射：
矩阵是对一个维度空间的作用。
维度空间由很多向量（点）组成。
线性无关定义：
在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立。
例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
行列式定义：
映射对应的“体积的扩大率”。
行列式是线性变换的伸缩因子。
只有方阵有行列式。
行列式直观：
行列式用来衡量线性变换拉伸或者缩放比例。
行列式的值大于0小于1对图形缩小，大于1对图形放大。
行列式等于0，意味着把空间降维了，意味着矩阵有线性相关的行或列，即线性相关。
行列式等于0，矩阵不可逆。
原名称为判别式 -- 希望找到一个数来判断n个未知数组成的n个线性方程组是否存在唯一解。
存在唯一解的思路：
什么时候存在唯一解呢? 即, 两条直线相交于一点.
换种思维, 如果是二元一次方程组，两条直线的法向量不平行.
再换种思维, 这两个法向量张成的平行四边形面积不为零.
换句话说,线性方程组存在唯一解的充要条件就是两条直线的法向量构成的平行四边形面积不为零。
回到线性变换，我们通过线性变换可以把方阵对应的几何图形由平行四边形变换成矩形，这样便于计算求行列式的值。
只有方阵有行列式：
二维空间中的向量只能由两个坐标所规定。
而要计算一个多边形的面积，只能计算由且仅由两个向量所规定的多边形
秩定义：
行秩是A 的线性无关的横行的极大数目。
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵_A_的秩。
mxn矩阵的秩最大为 min(m, n)个。
秩的英文原意是分类的意思：
首先通过矩阵的初等变换, 定义矩阵的相抵关系, 相抵关系是等价关系;
然后, 通过相抵关系, 就可以对矩阵进行分类, 并且每一类都选出一个代表元, 将这个代表元称作标准形;
最后, 更重要的是, 每一类都有一个独有的特征, 这个独有的特征就是不变量, 这里称为秩。
秩性质：
秩的维数量与原矩阵是否相等决定了原矩阵是否可逆。
几何直观：
m x n 矩阵 A在目标空间被压缩，被压缩成的矩阵成为A的像（IMG A）。
像的维数称为 A 的秩。
奇异矩阵定义：
首先，方阵才能称为奇异矩阵和非奇异矩阵。
然后，行列式|A|等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，为非奇异矩阵。
同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。
如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。
如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。
奇异矩阵确实跟行列式(判别式)有关系，因为行列式就是用来判断矩阵是否有唯一解。
奇异矩阵直观：
A 的 像的维数比原来降低了，称 A 为奇异矩阵。
如果像的维数没有降低，称为A是非奇异矩阵，又称可逆矩阵。
转置矩阵 正交矩阵
转置矩阵定义：
把m x n的行列互换之后得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A (T)。
A可以不是方阵。
转置矩阵性质：
转置矩阵与原来矩阵相比行列式不变。
正交矩阵定义：
首先看正交向量的定义：
向量点积为0的情况叫正交。
A矩阵和它的转置矩阵乘积为单位矩阵，则A为正交矩阵。
转置后的矩阵，再进行乘法。
矩阵分量与自己点积是1，与其它分量点积是0。
正交矩阵是方阵。
正交矩阵直观：
其实很好理解，矩阵的每个分向量与其它分向量点积都是0（几何上正交）。
正交矩阵性质：
A为正交矩阵的充要条件是A的列向量和行向量都是标准正交基。
另外一个充要条件 A的转置 = A 的逆。
相似矩阵
定义：
设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使
P^{-1}AP=B
则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似。
直观：
线性变换通过指定基底下的矩阵来表示。
线性变换是基于某个基底的，就好比函数是基于直角坐标系的。
定义解释：同一个线性变换不同基下的矩阵称为相似矩阵。
A B 是V1 和 V2基底下的矩阵，基底在定义公式中是隐含的。
P{-1} 和 P 可以互相转换 A B的基底 V1 和 V2 ,
即 P{-1} V1 = V2 ， P V2 = V1。
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发表于 2020-10-9 11:06
