美丽的数学 之 复平面

lee1892

六、最闪亮的星尘：两个莫比乌斯变换的舞蹈

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2014-10-20 15:37 上传

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如果有两个莫比乌斯变换同时作用，会有什么样的化学反应呢？



下图是通过 IFS 计算2个莫比乌斯变换及其倒函数作用于各自的不动点获得的：


我们肯定遗漏了什么，因为我们希望得到是下面这样的图，此图中有 51 万个点，对应的是上图中右上角那个图：
注：上面的附件中不能生成下面这样的图。



放大一点：


继续放大


要放大很多倍才会注意到曲线变成了线段：

lee1892

七、连续的德拉姆曲线

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2014-10-22 16:58 上传

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在 奇妙的分形 的 第八节 提到了德拉姆曲线，但用的是 IFS 随机搜索生成了很多的点形成的。既然名为曲线，则必然是连续的，则要求弄清楚弄清楚这些点的先后顺序。

由德拉姆曲线连续的条件：
d0(p1)=d1(p0)
其中，p0、p1 分别是函数 d0、d1 的不动点，记 d0 为 A，d1 为 B。
对于曲线上的某一点 P 而言，A(P) 和 B(P) 必然在 P 点的两侧，记 A(P) 在 P 的左侧或后方，而 B(P) 在 P 的右侧或前方。


同样的，A(A(P)) 和 B(A(P)) 在 A(P) 的两侧，记 A(A(P)) = AA(P) 和 B(A(P)) = BA(P)，对于 B(P) 有 A(B(P)) = AB(P) 和 B(B(P)) = BB(P)，那么 BA(P) 是在 AB(P) 的左边还是右边呢？答案是 AB 在 BA 的左边，可以通过前面的共轭和倒函数等知识证明。所以这四个点的顺序是：AA, AB, BA, BB，继续计算得到的8个点由左到右为：AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB。其顺序是 函数按 A、B 的顺序复合到已有函数的后方。

于是对于 P 点有如下的树：
P -> A, B
A -> AA, AB
B -> BA, BB
AA -> AAA, AAB
AB -> ABA, ABB
BA -> BAA, BAB
BB -> BBA, BBB
...
树的每一层都是按顺序排列的。

计算可知：复合函数的参数计算实际上是前后连个参数矩阵的乘法。

而为获得连续的德拉姆曲线，则是对上述复合函数 树 的 深度遍历。值得注意的是，主要计算不再是函数对点计算，而是函数本身的参数计算。

这样，就可以获得连续的德拉姆曲线：




是不是比之前的 IFS 的办法好很多呢？放大局部的效果：

衣袂飘飘

精美啊，学习了。

840205910

羡慕，飘过

wqfzqgk

强势围观，楼主出品，必属精品

0031126

好厉害啊，完全的看不懂

2279619944

EXCEL真的很强大，原来我还没看到它的冰山一角

apirl2008

看来，想要看懂此贴，还得先去重学一下数学知识

bettyshan

lee1892 发表于 2014-10-20 13:25
五、莫比乌斯变换的分类

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原来您的头像是这样来的啊，太厉害了！

bettyshan

lee1892 发表于 2014-10-20 13:25
五、莫比乌斯变换的分类

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以前听说过有名的莫比乌斯圈，原来还可以做成莫比乌斯猫咪：）