[分享]用Excel求解---矩阵代数

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导论

矩阵作为最简单的形式不过就是一张数据元素表,即数据元素的矩形排列.

其中每个元素表示方法 a_ij 其中i表示元素所在矩阵的行; j表示元素所在的列.也就是说a_ij定义为矩阵A中第i行第j列上的元素.

在这种表示法中,i和j采用的数值称为矩阵的维,叫做i×j(读作i乘j).例如,一个具有5行3列的矩阵就说具有5乘3的维数.

矩阵的元素可以是长方形排列,那么i和j就没有必要相等,但是如果它们相等,所形成的就叫做方阵.如果是方阵,那么它就具有特殊的性质,在建立数学模型时有重要价值,但矩阵并不一定是方阵.

事实上还有其他两种情况,就是向量.它们在建模过程中都很有用,都不是方阵.它们的定义是i或j等于1.如果i=1,就得到一个行向量;如果j=1,就产生一个列向量.通常向量由小写字母表示,而矩阵用大写字母表示,都用黑体.最后,如果i和j都等于1,那么就定义了一个标量,说明所有的标志数都可被看成是i乘j的特例,它们的i=j=1.

8A.2矩阵的类型

8A.2.1单位矩阵

单位矩阵(I)是具有任意维数的一个方阵,作为矩阵代数,它的性质等同于常规代数中的标量1,其特点是完全由1和零组成,构成以下形式:

[此贴子已经被作者于2008-6-16 22:08:55编辑过]

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上面是具有不同维数(1×1,2×2,3×3)的单位矩阵.

可以很明显看出,构成矩阵的所谓主对角线(左上角到左下角)的项总是等于1,而其余的都是零.还能看出,只要是正方形,单位矩阵可以有任意维数,任何方阵在乘一个有适当维数的单位矩阵后保持不变,就像代数中等式两边同乘以1等式不变一样,矩阵代数中的单位矩阵等同于标量代数中的数字1.

8A.2.2矩阵转置

矩阵的转置就是把矩阵的行改为列,把列改为行而得到一个新矩阵的过程,这样原矩阵的第一行变成新矩阵的第一列,原矩阵的第二行变成新矩阵的第二列,以此类推!

任何矩阵的转置的表示方法是在矩阵字母上加一个上标,所以A^T就表示矩阵A的转置.例如,如果

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在excel中可以用复制---选择性粘贴---转置 来操作完成,又快又方便!

矩阵的转置在矩形代数运算时是非常有用的.

3.矩阵的加法和矩阵的减法

对于矩阵的加法和减法来说,要加减的矩阵只有具有相同的维数才能进行计算,如果是这样,那么对处于相对位置的项进行加减就可以得到和与差,例如:

如果A=[a₁₁a₁₂]和B=[b₁₁b₁₂]

那么A±B=[( a₁₁±b₁₁)( a₁₂±b₁₂)]

 

 

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4. 矩阵乘法

只有乘积的第一个矩阵的列数与乘积的第二个矩阵的行数相等时,矩阵乘法才有可能进行.

稍微考虑一下就可以确认这个要求,这就是说要进行计算的具体乘法中的顺序是极其重要的.

例如若A是一个3×2矩阵,B是一个2×4矩阵,那么乘积AB是’相符的”(2=2),但乘积BA就不是(4≠3).

矩阵乘法的条件意义重大,它有几种可能:

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(i).乘积AB和BA都不存在(都是不相符的).例如,若A的维数是3×2, B的维数是4×5,那么两个乘积都不存在(对AB来说2≠4,对BA来说5≠3).

(ii)AB存在,BA不存在.

(iii)BA存在,AB不存在.

(iv)AB和BA都存在,但不相等,极特殊的情况除外.

要了解上述意思,需进一步了解如何从两个或多个相符的矩阵中形成一个矩阵乘积.我们分析以下两个矩阵:

详细见excel文件”矩阵代数”!

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5. 矩阵求逆

可以发现,我们的讨论中故意没有分析矩阵的除法过程,这是因为矩阵的除法远不是很简单的,处理时要格外小心.原则上基本与标量代数相同,但计算过程完全不同.例如,假设我们有以下标量代数方程ax=b

如果方程两边都乘以a的倒数(1/a=a^-1),那么得到a^-1ax= a^-1b

这表明

              X= a^-1b(因为a(1/a)=a a^-1=1)

显然,用一个倒数项形式乘以任何表达式等同于用此项去除该表达式,同样,乘积aa^-1=1,我们把这个思路应用于矩阵:

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我们要找的第二个矩阵(A^-1读做A的逆矩阵),如果用这个矩阵 乘以A,就可得到一个单位矩阵(I),也就是说我们要求的是:

A^-1,它能使A^-1*A=I

如果可以这样做,我们就可以进行同样的矩阵除法,不过,情况并非这样简单.

首先,尽管有Excel的帮助,找出一个矩阵的逆矩阵的计算仍然很复杂. 第二,只有方阵才存在逆矩阵,所以对那些不是方阵不能计算的矩阵可能存在某些理想的除法运算. 第三,即使要求逆的矩阵是方阵,也不能保证逆矩阵的存在.特别是,若一个或多个行或列是其他行或列的一个固定乘数,那么求逆就无法进行计算.不过只要看到这些限制,我们就可以用Excel找出矩阵A的逆矩阵,步骤如下:

首先,把下列矩阵放入A1:B2区域中:

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此刻要记住,A的逆矩阵一定和A具有相同的维数,用鼠标选定D1:E2区域,在选定D1:E2区域时输入:     =MINVERSE(A1:B2)

然后按ctrl+shift+Enter三键同时输入.

A的逆矩阵为:

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要证实它确是逆矩阵,选定A5:B6,然后输入:

=MMULT(A1:B2,D1:E2)

然后按通常方法输入此矩阵,构成矩阵乘积:A*A-1

将出现:

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详细见excel文件”矩阵代数.xls”的逆矩阵工作表!

注意:一个矩阵的求逆是非常有用的.

6. 用矩阵代数求解线性方程组

矩阵求逆的主要目的是使电脑能求解联立线性方程组.例如,要求解下列方程组:

2*x+5*y+3*z=28

X – y + z = 5

3*x + 2*y – z = 9

作法如下.重新用矩阵形式写出方程:

A*s=b

式中的A为变量系数的3×3矩阵,s是x,y和z的未知解数值的3×1列向量,b是右边常数项的3×1列向量,即: