自然数中倒数和=1的组合

香川群子 · 发表于 2012-8-23 10:32

已知集合N为正整数（自然数）

求任意m个整数，它们各自的倒数和=1

例如：
1=1/2+1/3+1/6
1=1/15+1/10+1/3+1/2

……

呵呵，有趣的题目，可以研究一下。

香川群子 · 发表于 2012-8-23 10:34

补充，m个自然数中没有重复

即，
1=1/2+1/2
1=1/2+1/4+1/4
这样的不算。

香川群子 · 发表于 2012-8-23 10:57

精确计算的原理：

如果有正整数n，则有数学公式：
1/n - 1/(n+1) 通分计算
=(n+1)/n*(n+1) - n/(n+1)*n
=(n+1-n)/n*(n+1)
=1/n*(n+1)

即：1/n - 1/(n+1)=1/n*(n+1)
左边负数移项到右边则有：
1/n = 1/(n+1) + 1/n*(n+1)

…………
这个等式转为文字说明如下：
【n 的倒数】可以分解为【n+1的倒数】和【n*(n+1)的倒数】之和。

香川群子 · 发表于 2012-8-23 12:55

因此，首先1可以这样来分解：

1/1=1/(1+1)+1/1*(1+1)
= 1/2+1/2

继续分解
1=1/2+1/2
=1/2+1/(2+1)+1/2*(2+1)
=1/2+1/3+1/6

接下来，每个分数可以继续拆分、分解下去……

这样的分解可以一直进行下去……
因此，题目加一个附加条件：

求自然数1-m之间，倒数和=1的所有组合。

为了计算方便，m可以定小一点。比如200、500、1000。

Du。。 · 发表于 2012-8-23 14:36

用递归？可惜不会哦～能想出这么有意思的问题；真的是高手

liucqa · 发表于 2012-8-23 18:11

支持研究，论坛学术氛围应该浓厚一些了

Moneky · 发表于 2012-8-23 18:47

小学奥数分数拆分部分知识可解指定m的分解，但要求“求自然数1-m之间，倒数和=1的所有组合。”比较麻烦。

wuxinyun1999 · 发表于 2013-2-5 10:47

这个题目没有结题啊,

cumulonimbus · 发表于 2013-3-6 17:39

Sub kgv()
Dim x As Integer
Dim arr(1 To 500, 1 To 1)
x = 0
k = 1
For i = 1 To 1000
m = i + 1
n = i * (i + 1)
If n > 100 Then Exit For
x = y + 1 / m + 1 / n
If m = n Then
      i = n - 1
      y = y + 1 / m
      sss = sss & IIf(sss = "", "", "+") & "1/" & m
ElseIf x = 1 And m <> n Then
      arr(k, 1) = sss & "+1/" & m & "+1/" & n
      k = k + 1
      i = n - 1
      y = y + 1 / m
      sss = sss & "+1/" & m
End If
Next i
[f1].Resize(k, 1) = arr
End Sub

写到这，没办法再做下去了。
根本用不了递归，递归一到50速度就无法忍受了。

lsdongjh · 发表于 2013-3-6 18:13

Sub tt()
Debug.Print CountBackWards(100)
End Sub
Function CountBackWards(lngMaxN As Long) As String
Dim lngN As Long
Dim lngMinN As Long
Dim lngMaxN_1 As Long
Dim strTemp As String
Dim lngI As Long
lngN = 1
strTemp = "1/" & lngN & "="
Do Until lngN > lngMaxN
lngMinN = lngN + 1
lngMaxN_1 = lngN * (lngN + 1)
strTemp = strTemp & "1/" & lngMinN & "+"
lngN = lngMaxN_1
Loop
CountBackWards = strTemp & "1/" & lngMaxN_1
End Function

复制代码

先只拆解后面的，哈~~

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