[72期]哪些灯亮着？

leecg

1、每一盏灯都会被1号拨过
2、除1号灯外所有的灯还会被自己拨过
MOD(SUM((MOD(ROW(),ROW($1:$256))=0)*1),2)可以判断当前灯是否亮
首先所有的质数都会灭掉
合数中除了两个因数相同的情况下灯也会灭掉
故最简公式为
a2=IF(ROW()-1>256^0.5,"",(ROW()-1)^2)

包含思路的公式就是
a2=TEXT(SMALL(IF(ROW($1:$256)^0.5=INT(ROW($1:$256)^0.5),ROW($1:$256),999),ROW()-1),"[>256]""""")
含等号94字节

[ 本帖最后由 leecg 于 2011-4-12 16:25 编辑 ]

zhangjimfu

=IF(MOD(SUM(--(ROW(1:1)=ROW($1:$256)*COLUMN($1:$1))),2),ROW(1:1),"")

xinzijin2006

第一次答题:

只能到108个
=TEXT(SMALL(IF(ISODD(FREQUENCY(ROW($1:$256)*COLUMN(1:1),ROW($1:$256))),ROW($1:$256),9^9),ROW(A1)),"[<257];")

[ 本帖最后由 xinzijin2006 于 2011-4-15 13:30 编辑 ]

shaoshan

哪些灯还亮着 的答卷
IF(MOD(FREQUENCY((MOD(ROW($A2)-1,ROW($A$2:A2)-1)),0),2)<>0,ROW()-1,"") 公式拖动

[ 本帖最后由 shaoshan 于 2011-4-15 16:03 编辑 ]

shaoshan

数学解法~嘻嘻！！
IF(MOD(SQRT(ROW()-1),1)=0,ROW()-1,"")
公式拖动

[ 本帖最后由 shaoshan 于 2011-4-15 16:04 编辑 ]

wangyuhu

帖子没开放，看不见
猜测内容：
答题截止，以下答题无分

fangjianp

说明：
本题来自于组合数学的一道题目（小学生是解不了的）。
只要模拟几次开关过程，便可以得出最终那些亮着灯的编号，这些编号相当具有规律：即
为不大于256的平方数，所以若在非竞赛的情况下，大家完全可以把平方数填上。
稍加分析，也可以发现，当265个人走过后，只有那些被开关过奇数次的灯最终是亮的，
有人用穷举方法，也证明了所有不大于256的平方数即为所求，也有些参赛者马上就意识
到这个问题归根结底是求一个数（包括自身和1）的因子个数，于是他们经过上述分析后
迅速得出结论，所有的平方数有奇数个因子。其实数论书中有定理：
“正整数n的因子个数（n=1，2，3，……）是奇数个的充要条件：n是一个完全平
方数，因子个数是偶数个的充要条件是n是一个非完全平方数”
相当一部分参赛者就把下面的公式作为了：
B2=TEXT(ROW(A1)^2,"[>256] ")，然后下拉，交卷。
对于这样的或与此类似的，我都通过短信的方式向他们重述了题目的要求
本竞赛题的要求是：所有参赛者须将你在得出答数为平方数前的分析用EXCEL函数语言
表达出来，这在这道题目贴出后两天就加上了附加如下要求：
注意：解答公式必须能体现解题思路
以上是关于这题要求的说明，大多数参赛者是明白的。
解题思路：
已知
第一个人拨动了1,2,……，256盏的开关:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, …
第二个人拨动了2,4,6,……盏灯的开关:      2,   4,   6,   8,   10,     12,  …
第三个人拨动了3,6,9,……盏灯的开关:         3,      6,      9,          12,  …
                 ……………………………………
用EXCEL语言表达：
第一个人拨动了：  (MOD(ROW(1:256),1)=0)=TRUE
第二个人拨动了：  (MOD(ROW(1:256),2)=0)=TRUE
第三个人拨动了：  (MOD(ROW(1:256),3)=0)=TRUE
                 ……………………………………
第二五六人拨动了：(MOD(ROW(1:256),256)=0)=TRUE
将这结果对应位置相加，即有：
              MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0)
其结果为：{1;2;2;3;2;4;2;4;3;4;2;6;2;4;4;5;2;6;2;6;4;4;2;8;3;4;4;6;2;8;2;6;4;4;4;9;2;4;4;8;2;8;2;6;6;4;2;10;3;6;4;6;2;8;4;8;4;4;2;12;……
从这串数中可见，排在平方数位置上的数为奇数，其余皆为偶数
很自然用MOD（）函数去判别其奇偶性
       MOD(MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0),2)     <1>
若为0的是偶数，为1的是奇数，其结果如下
     {1;0;0;1;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;……
所有平方数位置上的是1，其余是0
以后的步骤就简单了，常规方法是：
=--TEXT(MOD(MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0),2)*ROW(1:156),"0;;999")
其结果为：
{1;999;999;4;999;999;999;999;9;999;999;999;999;999;999;16;999;999;999;999;999;999;999;999;25;999;999;999;999;999;999;999;999;999;999;36;999;……

将其由小到大排序，(根据答题区域，可知只需取前29个数
=SMALL(--TEXT(MOD(MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0),2)*ROW(1:256),"0;;999"),ROW(1:29))
上式等于：
{1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196;225;256;999;999;999;999;999;999;999;999;999;999;999;999;999}
最后用TEXT(……,"[=999] ")便解决问题了。
但是这样处理的结果是公式长度为121，不符合题目要求。
相当一部分参赛者就是没有将公式很好地简化，最后功亏一篑，未能满足题目要求，可惜了！
简化：
回到<1>式：
我们知道，确认一个数K的奇偶性有几种方法
   ISODD(K),MOD(K,2),-1^K
上述三法中显然-1^K最简
我们将<1>式改为：-1^MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0)
上式等于：
{-1;1;1;-1;1;1;1;1;-1;1;1;1;1;1;1;-1;1;1;1;1;1;1;1;1;-1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;-1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;-1;1;1;1;1;1;1;……
平方数位置上为-1，其余为1
如果现在将其由小到大排序，前面16个数为-1，后续全是1，但这就缺少了灯的编号信息
因此在排序前，还应将灯的编号信息附加上去，较简洁的方法如下：
=-1^MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0)/ROW(1:256)
有些意外，一般都是乘以ROW(1:256),这儿却是除以ROW(1:256),但无论如何，这还是带上了等编号的信息
由小到大排序，取前29项，
=SMALL(-1^MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0)/ROW(1:256),ROW(1:29))
按F9可见其结果为
{-1;-0.25;-0.111111111111111;-0.0625;-0.04;-0.0277777777777778;-0.0204081632653061;-0.015625;-0.0123456790123457;-0.01;-0.00826446280991736;-0.00694444444444444;-0.00591715976331361;-0.00510204081632653;-0.00444444444444444;-0.00390625;0.00392156862745098;0.00393700787401575;0.00395256916996047;0.00396825396825397;0.00398406374501992;0.004;0.00401606425702811;0.00403225806451613;0.00404858299595142;0.0040650406504065;0.00408163265306122;0.00409836065573771;0.00411522633744856}
然后再求其倒数
=1/SMALL(-1^MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0)/ROW(1:256),ROW(1:29))
得到结果为
{-1;-4;-9;-16;-25;-36;-49;-64;-81;-100;-121;-144;-169;-196;-225;-256;255;254;253;252;251;250;249;248;247;246;245;244;243}
再用TEXT()函数：TEXT(……,";0")就得到正果了(多单元格数组公式）
=TEXT(1/SMALL(-1^MMULT(-(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0)/ROW(1:256),ROW()-1),";0")
简化后公式长度为95
这是一种解法，参赛者中，22楼willin2000版主给出了这个，和我贴在10楼的公式仅一字之差
模拟256个人分别经过拨动开关还有一种更巧妙的方法，这里写上，
                                   FREQUENCY(ROW(1:256)*COLUMN(1:1),ROW(1:256))
具体解释可参见wangg913版主在本期竞赛13楼可找到，此处不再赘述。
由这一方法可得最简公式为：
=TEXT(1/SMALL(-1^FREQUENCY(ROW(1:256)*COLUMN(1:1),ROW(1:256))/ROW(1:257),ROW()-1),";0;")
长度88
2楼，3楼，7楼等也用了此法，只是在简化上没有进一步优化使公式最优。

最后的叙述：
本题要得到正确的答数是非常容易的，参赛者中绝大部分都是知道的。但欲将分析用函数语言
完整表达出来，可能因为答数太过易得，相当一些人反而不知怎样用函数语言表达了，真有些“知其然不知其所以然”
本题第二个难点是在简化上面，willin2000版主功力深厚，在化简方面做到了最优。
相当一部分参赛者在没有很好地优化，结果公式超出了规定长度，不能得分，可惜了了！
明天将对各位参赛者提交的评审。
最后感谢大家参与，第一次出竞赛题，可能考虑不周，望大家指正！再次谢谢各位E友了！！！

[ 本帖最后由 fangjianp 于 2011-4-18 01:25 编辑 ]

angellbxsc

看不见哦，还没开帖？

fangjianp

1^1:1更短，但不提倡，如果这些单元格中有其他文字信息则会出错。

悟空师弟

多单元格数组公式：=TEXT(SMALL(IF(MOD(MMULT(N(MOD(ROW(1:256),COLUMN(1:1))=0),ROW(1:256)^0),2),ROW(1:256),257),ROW(1:256)),"[<257]0;")

取巧：=TEXT(ROW(A1)^2,"[<257]0;")