已知空间三角形的顶点坐标，求它的外接圆的圆心坐标（解析几何法）

蓝桥玄霜

已知一个空间三角形ABC三个顶点的坐标：

A(x1,y1,z1)   B(x2,y2,z2)  C(x3,y3,z3)

当然这3个点不在一条直线上，否则就不能组成一个三角形了。

运用解析几何的方法，我们可以运用两条直线的方程之间的关系求得两条直线的交点坐标、通过直线上一点求得该直线的垂直线方程、根据两个点的坐标求得该两点的距离等等。

空间三角形在XY平面上的投影A’B’C’是平面三角形，

我们知道一个平面三角形的外接圆的圆心的位置就是该三角形两条边的垂直平分线的交点（如附图所示）

总的思路是：

1， 根据三个顶点的坐标求得三条边的方程系数；

2， 求得A’B’边的中点D’的坐标，通过D’点的A’B’边的垂直平分线的方程系数；

3， 求得A’C’边的中点E’的坐标，通过E’点的A’C’边的垂直平分线的方程系数；

4， 求得这两条垂直平分线的交点O’坐标，这个就是外接圆的圆心O的X、Y坐标；

5， 求得A’B’边的中点D’到圆心O’的长度（D’ O’ 的长度）；

6， A’B’边的垂直平分线与另外两条边B’C’、A’C’都有交点F’和G’，求得这两个交点的坐标；

7， 分别判断F’的坐标是否在B’、C’点之间，G’的坐标是否在A’、C’点之间，如果满足条件则进行下面的计算；

8， 以D’F’满足条件为例：求得D’F’的长度、B’C’的长度和B’F’的长度；

9， 求得F点的Z坐标；

10，最后根据D’ O’和D’F’的的比值、F的Z坐标和D的Z坐标，求得圆心O的Z
坐标。

1. 
   

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2016-10-15 11:38 上传

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蓝桥玄霜

1. Type kjPoint
   
2.     x As Double
   
3.     y As Double
   
4.     z As Double
   
5. End Type
   
6. Sub lqxs()
   
7. Dim ptA As kjPoint, ptB As kjPoint, ptC As kjPoint, n&
   
8. Dim ABFa, ABFb, ABFc, ACFa, ACFb, ACFc, BCFa, BCFb, BCFc
   
9. Dim ABl, ACl, BCl
   
10. Dim zd, ABz_x, ABz_y, ACz_x, ACz_y
    
11. Dim ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, ACzxFa, ACzxFb, ACzxFc
    
12. Dim ABsz_z, BCzl
    
13. Dim zx_x, zx_y, zx_z
    
14. ptA.x = [c5].Value: ptA.y = [d5].Value: ptA.z = [e5].Value '点A坐标
    
15. ptB.x = [c6].Value: ptB.y = [d6].Value: ptB.z = [e6].Value '点B坐标
    
16. ptC.x = [c7].Value: ptC.y = [d7].Value: ptC.z = [e7].Value '点C坐标
    
17. 'XY平面
    
18. ABFa = ptB.y - ptA.y: ABFb = ptA.x - ptB.x: ABFc = -ABFb * ptA.y - ABFa * ptA.x '直线AB的方程系数'
    
19. BCFa = ptC.y - ptB.y: BCFb = ptB.x - ptC.x: BCFc = -BCFb * ptB.y - BCFa * ptB.x '直线BC的方程系数'
    
20. ACFa = ptC.y - ptA.y: ACFb = ptA.x - ptC.x: ACFc = -ACFb * ptA.y - ACFa * ptA.x '直线AC的方程系数'
    
21. 
    
22. ABl = dist(ptA.x, ptA.y, ptB.x, ptB.y) '直线AB的XY平面的投影长度
    
23. ACl = dist(ptA.x, ptA.y, ptC.x, ptC.y) '直线AC的XY平面的投影长度
    
24. BCl = dist(ptB.x, ptB.y, ptC.x, ptC.y) '直线BC的XY平面的投影长度
    
25. 
    
26. 'D'坐标
    
27. zd = (ptA.x - ptB.x) / 2
    
28. ABz_x = zd + ptB.x
    
29. zd = (ptA.y - ptB.y) / 2
    
30. ABz_y = zd + ptB.y
    
31. 
    
32. 'G'坐标
    
33. zd = (ptA.x - ptC.x) / 2
    
34. ACz_x = zd + ptC.x
    
35. zd = (ptA.y - ptC.y) / 2
    
36. ACz_y = zd + ptC.y
    
37. 
    
38. 'AB垂直平分线方程的系数
    
39. ABzxFa = ABFb: ABzxFb = -ABFa: ABzxFc = ABFa * ABz_y - ABFb * ABz_x
    
40. 'AC垂直线方程的系数
    
41. ACzxFa = ACFb: ACzxFb = -ACFa: ACzxFc = ACFa * ACz_y - ACFb * ACz_x
    
42. '圆心x,y坐标
    
43. zx_x = jiaox1(ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, ACzxFa, ACzxFb, ACzxFc)
    
44. zx_y = jiaoy1(ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, ACzxFa, ACzxFb, ACzxFc)
    
45. 
    
46. 'AB垂直平分线与BC的交点坐标(F')
    
47. 
    
48. abzx2bc_x = jiaox1(ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, BCFa, BCFb, BCFc)
    
49. abzx2bc_y = jiaoy1(ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, BCFa, BCFb, BCFc)
    
50. 
    
51.     D_z = (ptA.z - ptB.z) / 2 + ptB.z
    
52.     dol = dist(ABz_x, ABz_y, zx_x, zx_y)
    
53. If ptB.x <= ptC.x Then xmin = ptB.x: xmax = ptC.x Else xmin = ptC.x: xmax = ptB.x
    
54. If ptB.y <= ptC.y Then ymin = ptB.y: ymax = ptC.y Else ymin = ptC.y: ymax = ptB.y
    
55. If abzx2bc_x >= xmin And abzx2bc_x <= xmax Then
    
56. 'B'F'长度　　' 直线BC上B点到垂直线交点的XY平面的投影长度
    
57.     BFl = dist(ptB.x, ptB.y, abzx2bc_x, abzx2bc_y)
    
58. 
    
59. 'AB中线D的Z轴坐标值
    
60. 'F点的Z值   AB垂直平分线与BC交点的Z轴坐标值
    
61.     F_z = BFl / BCl * (ptC.z - ptB.z) + ptB.z
    
62. 
    
63.     dfl = dist(ABz_x, ABz_y, abzx2bc_x, abzx2bc_y)
    
64.     'dol = dist(ABz_x, ABz_y, zx_x, zx_y)
    
65.     Bl = dol / dfl
    
66. 
    
67. 
    
68. '圆心z坐标
    
69.     zx_z = Bl * (F_z - D_z) + D_z
    
70. 
    
71. Else
    
72.     abzx2ac_x = jiaox1(ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, ACFa, ACFb, ACFc)
    
73.     abzx2ac_y = jiaoy1(ABzxFa, ABzxFb, ABzxFc, ACFa, ACFb, ACFc)
    
74. 
    
75.     If ptA.x <= ptC.x Then xmin = ptA.x: xmax = ptC.x Else xmin = ptC.x: xmax = ptA.x
    
76.     If ptA.y <= ptC.y Then ymin = ptA.y: ymax = ptC.y Else ymin = ptC.y: ymax = ptA.y
    
77.     If abzx2ac_x >= xmin And abzx2ac_x <= xmax Then
    
78.         AGl = dist(ptA.x, ptA.y, abzx2ac_x, abzx2ac_y)
    
79.         G_z = AGl / ACl * (ptC.z - ptA.z) + ptA.z
    
80. 
    
81.         dgl = dist(ABz_x, ABz_y, abzx2ac_x, abzx2ac_y)
    
82.         Bl = dol / dgl
    
83.         zx_z = Bl * (G_z - D_z) + D_z
    
84.     End If
    
85. End If
    
86. MsgBox "外接圆心的坐标是 （" & Format(zx_x, "0.0000") & "," & Format(zx_y, "0.0000") & "," & Format(zx_z, "0.0000") & "）"
    
87. End Sub
    
88. 
    
89. '直线交点的X坐标
    
90. Function jiaox1(ca1, cb1, cc1, ca2, cb2, cc2)
    
91.     jiaox1 = (cc2 * cb1 - cc1 * cb2) / (ca1 * cb2 - ca2 * cb1)
    
92. End Function
    
93. 
    
94. Function jiaoy1(ca1, cb1, cc1, ca2, cb2, cc2)
    
95.     jiaoy1 = -(ca1 * cc2 - ca2 * cc1) / (ca1 * cb2 - ca2 * cb1)
    
96. End Function
    
97. 
    
98. Function dist(cordx1, cordy1, cordx2, cordy2)
    
99.     dist = Sqr((cordx2 - cordx1) ^ 2 + (cordy2 - cordy1) ^ 2)
    
100. End Function

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lzqlaj

好贴子，收藏了。

香川群子

过程比较繁琐。

但这得到的只是与ABC三点在同一平面上的圆心点。

如果真要说是三维空间，到三点之间距离相等的点也会是一条直线了吧。
（过O点并且垂直于ABC所在平面。）

蓝桥玄霜

香川群子 发表于 2016-10-15 21:38
过程比较繁琐。

但这得到的只是与ABC三点在同一平面上的圆心点。

香川的评价不错：
计算过程比较繁琐。得到的只是与ABC三点在同一平面上的圆心点。

这就是空间三角形ABC的外接圆的圆心，与“到三点之间距离相等的点”是不一样的问题。

李永￥

老师以后就跟你学习好不，求带

李永￥

lzqlaj 发表于 2016-10-15 20:59
好贴子，收藏了。

请问，你会用了吗？能指点一下吗？

李永￥

香川群子 发表于 2016-10-15 21:38
过程比较繁琐。

但这得到的只是与ABC三点在同一平面上的圆心点。

您好：请问，这个有什么实际用途没？

李永￥

蓝桥玄霜 发表于 2016-10-16 08:52
香川的评价不错：
计算过程比较繁琐。得到的只是与ABC三点在同一平面上的圆心点。

您好：请问你会做加载宏吗？能否指导一下？

laoau128

看完再讲了