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楼主: lee1892

[原创] 美丽的数学 之 奇妙的分形

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发表于 2013-12-6 10:12 | 显示全部楼层
本帖已被收录到知识树中,索引项:
牛人,想学

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 楼主| 发表于 2013-12-6 14:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 lee1892 于 2013-12-6 14:26 编辑

五、正多边形的分形

此贴附件: 奇妙的分形 之 正多边形_By Lee1892.rar (181.76 KB, 下载次数: 473)

前面曾反复提到谢尔宾斯基三角形,其原理是由一个正三角形在其三个角上各生成一个边长1/2大小的小三角形,如下图动画:
三角形.gif

推而广之,可以将这个方法应用到所有正多边形上,比如下图的正四边形:
正方形.gif

可以注意到,在边数N多于3个的时候,还可以生成第N+1个正多边形位于正中,于是有下图的效果,图中分别是正三角形到正10边形,有、无中心的分形:
正多边形.PNG

细心如你一定注意到对于正六边形不生成中间的时候,其中间围合成的形状是十分熟悉的,就是前面提到的那个雪花的图案。

附件中,设置了变形系数的参数(该参数的输入值是其倒数,即变形系数=1 / 输入值,输入值不大于 1 时,代码计算为相邻分形恰好接触),采用不同的参数还会得到一些其它的图样,比如下图:
正多边形-不同的分形系数.PNG

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发表于 2013-12-7 08:41 | 显示全部楼层
真是五彩缤纷,看得眼花缭乱。真想学习学习。

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发表于 2013-12-7 08:41 | 显示全部楼层

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发表于 2013-12-7 23:30 | 显示全部楼层

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发表于 2013-12-9 10:09 | 显示全部楼层
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发表于 2013-12-9 16:12 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2013-12-9 16:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 lee1892 于 2013-12-11 10:46 编辑

六、随机的分形:对自然的模拟

本贴附件: 奇妙的分形 之 3分枝的一定随机_By Lee1892.rar (183.11 KB, 下载次数: 416)
追加附件: 奇妙的分形 之 随机模拟树_By Lee1892.rar (178.15 KB, 下载次数: 475)
继续追加: 奇妙的分形 之 彩色的随机模拟树_By Lee1892.rar (214.07 KB, 下载次数: 521)

人们在数学概念上意识到分形不过是在上世纪70年代的事,但我们早就注意到了自然界的这种现象,微观的分子结构,小的蜗牛壳,一片雪花,一棵花菜,一片树叶,一棵树,一座山脉,一条海岸线,无不可以看作某种意义上的分形。

前面提到的种种简单的几何分形都是规律的,然而自然界中事物总是变化纷繁的,我们都知道没有两片雪花是相同的。所以人们在用分形技术模拟自然界中的事物时,会引入一些随机变量,这会产生一些非常有趣的事情。

我不打算为前面的每一个附件都设计一个随机规则,仅仅以第一个 分枝 为例,让我们用它来模拟一棵树。显然树的生长是三维的,我们来模拟其在二维空间的投影的图案。

附件是这样来模拟的:
1、树的每一次生长意味着产生一个分支节点,只产生不超过3个分支,左、中、右
2、在分支节点,主干是肯定继续生长的,所以中间分支必然存在,可能存在左分支或则右分支或则左右都有
3、中间分支基本沿原来的方向继续生长,但可能偏左或偏右,同时其长度可能比标准比例大或小
4、左右分支也同样存在中间分支的角度和长度上的偏差

于是有这样的一个参数界面
3分支一定随机的界面.PNG

然后我们可以改变参数,生成各种各样的树来,是不是很酷呢~
一些树.PNG

======================================

追加了一个附件,可以模拟树粗细、同节点左右分支的起始点会有偏差(显得更自然一些),有兴趣的可以分列生成的数据进行上色处理就会更像是真实的树了{:soso_e104:}:
a Tree.PNG

有粗细控制的随机树.PNG
======================================
继续追加附件,按各分枝的宽度对生成的数据分列,并对各列数据上色。Excel的图表色彩太单调了~
现在的界面减少了一些参数,而实际上可以更改代码,把一些东西统统变为参数,宽度、宽度的分形比例、分支节点的偏移量、色彩的分布、向上方生长或是向两侧生长的可能性。。。等等
彩色的树.PNG

现在看上去就更酷了~~~~
好多彩色的树.PNG
好吧,这一段看上去更像是代码的演进的示例~

======================================
3维的模拟树,网上找的:
Dragon_trees.jpg

分形模拟地形的示意:
Animated_fractal_mountain.gif

商业软件利用分形技术制作的地貌:
FractalLandscape.jpg




评分

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发表于 2013-12-9 17:28 | 显示全部楼层
lee1892 发表于 2013-12-9 16:33
六、随机的分形:对自然的模拟

本贴附件:

楼主打个包吧。谢谢

点评

我写一个发一个,哪来的包给你打,你当我批发兼零售的咩~  发表于 2013-12-9 19:17

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发表于 2013-12-9 17:57 | 显示全部楼层
EH有你的加入,是EH之幸。
借用17楼的话:
在这种大师面前,我就是个小屁孩。。。
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